Higher-Order Fun

Game Design & Game Programming

Math for Game Programmers 05 – Vector Cheat Sheet

This is the long due fifth article in this series. If you aren’t comfortable with vectors, you might want to take a look at the first four articles in this series before: Introduction, Vectors 101, Geometrical Representation of Vectors, Operations on Vectors.

This cheat sheet will list several common geometrical problems found in games, and how to solve them with vector math.

Complete list of basic vector operations

But first, a little review.

For this, I assume that you have a vector class readily available. This is mostly 2D-focused, but everything works the same for 3D, except for differences concerning vector product, which I will assume to return just a scalar in the 2D case, representing the “z” axis. Any case that only applies to 2D or 3D will be pointed out.

Strictly speaking, a point is not a vector – but a vector can be used to represent the distance from the origin (0, 0) to the point, and so, it is perfectly reasonable to just use vectors to represent positions as if they were points.

I expect the class to give you access to each of the components, and to the following operations (using C++ style notation, including operator overloading – but it should be easy to translate to any other language of your choice). If a given operation is not available, you can still do it manually, either by extending the class or creating a “VectorUtils” class. The examples below are usually for 2D vectors – but 3D is usually simply a matter of adding the z coordinate following the pattern of x and y.

  • Vector2f operator+(Vector2f vec): Returns the sum of the two vectors. (In a language without operator overloading, this will probably be called add(). Similarly for the next few ones.)
    a + b = Vector2f(a.x + b.x, a.y + b.y);
  • Vector2f operator-(Vector2f vec): Returns the difference between the two vectors.
    a – b = Vector2f(a.x – b.x, a.y – b.y);
  • Vector2f operator*(Vector2f vec): Returns the component-wise multiplication of the vectors.
    a * b = Vector2f(a.x * b.x, a.y * b.y);
  • Vector2f operator/(Vector2f vec): Returns the component-wise division of the vectors.
    a / b = Vector2f(a.x / b.x, a.y / b.y);
  • Vector2f operator*(float scalar): Returns the vector with all components multiplied by the scalar parameter.
    a * s = Vector2f(a.x * s, a.y * s);
    s * a = Vector2f(a.x * s, a.y * s);
  • Vector2f operator/(float scalar): Returns the vector with all components divided by the scalar parameter.
    a / s = Vector2f(a.x / s, a.y / s);
  • float dot(Vector2f vec): Returns the dot product between the two vectors.
    a.dot(b) = a.x * b.x + a.y * b.y;
  • float cross(Vector2f vec): (2D case) Returns the z component of the cross product of the two vectors augmented to 3D.
    a.cross(b) = a.x * b.y – a.y * b.x;
  • Vector3f cross(Vector3f vec): (3D case) Returns the cross product of the two vectors.
    a.cross(b) = Vector3f(a.y * b.z – a.z * b.y, a.z*b.x – a.x*b.z, a.x*b.y – a.y*b.x);
  • float length(): Returns the length of the vector.
    a.length() = sqrt(a.x * a.x + a.y * a.y);
  • float squaredLength(): Returns the square of the length of the vector. Useful when you just want to compare two vectors to see which is longest, as this avoids computing square roots
    a.squaredLength() = a.x * a.x + a.y * a.y;
  • float unit(): Returns a vector pointing on the same direction, but with a length of 1.
    a.unit() = a / a.length();
  • Vector2f turnLeft(): Returns the vector rotated 90 degrees left. Useful for computing normals. (Assumes that y axis points up, otherwise this is turnRight)
    a.turnLeft = Vector2f(-a.y, a.x); 
  • Vector2f turnRight()Returns the vector rotated 90 degrees right. Useful for computing normals. (Assumes that y axis points up, otherwise this is turnLeft)
    a.turnRight = Vector2f(a.y, -a.x);
  • Vector2f rotate(float angle): Rotates the vector by the specified angle. This is an extremely useful operation, though it is rarely found in Vector classes. Equivalent to multiplying by the 2×2 rotation matrix.
    a.rotate(angle) =  Vector2f(a.x * cos(angle) – a.y * sin(angle), a.x * sin(angle) + a.y * cos(angle));
  • float angle(): Returns the angle that the vector points to.
    a.angle() = atan2(a.y, a.x);

Simple cases – warming up

Case #01 – Distance between two points

You probably know that this is done with the Pythagorean theorem, but the vectorial way is simpler. Given two vectors a and b:

float distance = (a-b).length();

Case #02 – Alignment

Sometimes, you want to align an image by its center. Sometimes, by its top-left corner. Or sometimes, by its top-center point. More generally, you can do alignment using a vector whose two components go from 0 to 1 (or even beyond, if you’d like), giving you full control of alignment.

// imgPos, imgSize and align are all Vector2f
Vector2f drawPosition = imgPos + imgSize * align

Case #03 – Parametric Line Equation

Two points define a line, but it can be tricky to do much with this definition. A better way to work with a line is its parametric equation: one point (“P0″) and a direction vector (“dir”).

Vector2f p0 = point1;
Vector2f dir = (point2 - point1).unit();

With this, you can, for example, get a point 10 units away by simply doing:

Vector2f p1 = p0 + dir * 10;

Case #04 – Midpoint and interpolation between points

Say you have vectors p0 and p1. The midpoint between them is simply (p0+p1)/2. More generally, the line segment defined by p0 and p1 can be generated by varying t between 0 and 1 in the following linear interpolation:

Vector2f p = (1-t) * p0 + t * p1;

At t = 0, you get p0; at t = 1, you get p1; at t = 0.5, you get the midpoint, etc.

Case #05 – Finding the normal of a line segment

You already know how to find the direction vector of a line segment (case #03). The normal vector is a 90 degree rotation of that, so just call turnLeft() or turnRight() on it!

Projections using the Dot Product

The dot product has the incredibly useful property of being able to compute the length of a vector’s projection along the axis of another. To do this, you need the vector that you’ll project (“a“) and a unit vector (so make sure that you call unit() on it first!) representing the direction (“dir“). The length is then simply a.dot(dir). For example, if you have a = (3, 4) and dir = (1, 0), then a.dot(dir) = 3, and you can tell that this is correct, because (1, 0) is the direction vector of the x axis. In fact, a.x is always equivalent to a.dot(Vector2f(1, 0)), and a.y is equivalent to a.dot(Vector2f(0, 1)).

Because the dot product between a and b is also defined as |a||b|cos(alpha) (where alpha is the angle between the two), the result will be 0 if the two vectors are perpendicular, positive if the angle between them is less than 90, and negative if greater. This can be used to tell if two vectors point in the same general direction.

If you multiply the result of that dot product by the direction vector itself, you get the vector projected along that axis – let’s call that “at” (t for tangent). If you now do a – at, you get the part of the vector that is perpendicular to the dir vector – let’s call that “an” (n for normal). at + an = a.

Case #06 – Determining direction closest to dir

Say that you have a list of directions represented as unit vectors, and you want to find which of them is the closest to dir. Simply find the largest dot product between dir and a vector in the list. Likewise, the smallest dot product will be the direction farthest away.

Case #07 – Determining if the angle between two vectors is less than alpha

Using the equation above, we know that the angle between two vectors a and b will be less than alpha if the dot product between their unit vectors is less than cosine of alpha.

bool isLessThanAlpha(Vector2f a, Vector2f b, float alpha) {
    return a.unit().dot(b.unit()) < cos(alpha);

Case #08 – Determining which side of a half-plane a point is on

Say that you have an arbitrary point in space, p0, and a direction (unit) vector, dir. Imagine that an infinite line goes by p0, perpendicular to dir, dividing the plane in two, the half-plane that dir points to, and the half-plane that it does not point to. How do I tell whether a point p is in the side pointed to by dir? Remember that dot product is positive when the angle between vectors is less than 90 degrees, so just project and check against that:

bool isInsideHalfPlane(Vector2f p, Vector2f p0, Vector dir) {
    return (p - p0).dot(dir) >= 0;

Case #09 – Forcing a point to be inside a half-plane

Similar to the case above, but instead of just checking, we’ll grab the projection and, if less than 0, use it to move the object -projection along dir, so it’s on the edge of the half-plane.

Vector2f makeInsideHalfPlane(Vector2f p, Vector2f p0, Vector dir) {
    float proj = (p - p0).dot(dir);
    if (proj >= 0) return p;
    else return p - proj * dir;

Case #10 – Checking/forcing a point inside a convex polygon

A convex polygon can be defined to be the intersection of several half-planes, one for each edge of the polygon. Their p0 is either vertex of the edge, and their dir is the edge’s inner-facing normal vector (e.g., if you wind clockwise, that’d be the turnRight() normal). A point is inside the polygon if and only if it’s inside all the half-planes. Likewise, you can force it to be inside the polygon (by moving to the closest edge) by applying the makeInsideHalfPlane algorithm with every half-plane. [ops, this actually only works if all angles are >= 90 degrees]

Case #11 – Reflecting a vector with a given normal

Pong-like game. Ball hits a sloped wall. You know the ball’s velocity vector and the wall’s normal vector (see case #05). How do you reflect it realistically? Simple! Just reflect the ball’s normal velocity, and preserve its tangential velocity.

Vector2f vel = getVel();
Vector2f dir = getWallNormal(); // Make sure this is a unit vector
Vector2f velN = dir * vel.dot(dir); // Normal component
Vector2f velT = vel - velN; // Tangential component
Vector2f reflectedVel = velT - velN;

For more realism, you can multiply velT and velN by constants representing friction and restitution, respectively.

Case #12 – Cancelling movement along an axis

Sometimes, you want to restrict movement in a given axis. The idea is the same as above: decompose in a normal and tangential speed, and just keep tangential speed. This can be useful, for example, if the character is following a rail.


Case #13 – Rotating a point around a pivot

If used to represent a point in space, the rotate() method will rotate that point around the origin. That might be interesting, but is limiting. Rotating around an arbitrary pivot vector is simple and much more useful – simply subtract the pivot from it, as if translating so the origin IS the pivot, then rotate, then add the pivot back:

Vector2f rotateAroundPivot(Vector2f p, Vector2f pivot) {
    return (pos - pivot).rotate(angle) + pivot;

Case #14 – Determining which direction to turn towards

Say that you have a character that wants to rotate to face an enemy. He knows his direction, and the direction that he should be facing to be looking straight at the enemy. But should he turn left or right? The cross product provides a simple answer: curDir.cross(targetDir) will return positive if you should turn left, and negative if you should turn right (and 0 if you’re either facing it already, or 180 degrees from it).

Other Geometric Cases

Here are a few other useful cases that aren’t that heavily vector-based, but useful:

Case #15 – Isometric world to screen coordinates

Isometric game. You know where the (0, 0) of world is on the screen (let’s call that point origin and represent it with a vector), but how do you know where a given world (x, y) is on the screen? First, you need two vectors determining the coordinate base, a new x and y axes. For a typical isometric game, they can be bx = Vector2f(2, 1) and by = Vector2f(-2, 1) – They don’t necessarily have to be unit vectors. From now, it’s straightforward:

Vector2f p = getWorldPoint();
Vector2f screenPos = bx * p.x + by * p.y + origin;

Yes, it’s that simple.

Case #16 – Isometric screen to world coordinates

Same case, but now you want to know which tile the mouse is over. This is more complicated. Since we know that (x’, y’) = (x * bx.x + y * by.x, x * bx.y + y * by.y) + origin, we can first subtract origin, and then solve the linear equation. Using Cramer’s Rule, except that we’ll be a little clever and use our 2D cross-product (see definition at the beginning of the article) to simplify things:

Vector2f pos = getMousePos() - origin;
float demDet = bx.cross(by);
float xDet = pos.cross(by);
float yDet = bx.cross(pos);
Vector2f worldPos = Vector2f(xDet / demDet, yDet / demDet);

And now you don’t need to do that ugly find-rectangle-then-lookup-on-bitmap trick that I’ve seen done several times before.

224 ResponsesLeave one →

  1. Jay Rock feat Kendrick Lamar (трейлер ГТА 5 ) – Hood Gone Love It 4 :05 лол. 3 :02. Favored Nations – The Setup ( GTA V OST) концовка гта 5 если спасти обоих. 3 :35. песня из гта 5 – финал игры конец 3 :38 исполнитель Санёл Врачёв.

  2. Дело в том, что в коде Grand Theft Auto 5 было найдено упоминание об обновлении с порядковым номером 1. 18 , релиз которого назначен на канун Хэллоуина, то есть ожидать его стоит со дня на GTA 5 ( Grand Theft Auto 5 ) — узнать больше о игре.

  3. Видео, клипы, ролики смотреть онлайн « Striptease ( Стриптиз )». Песни и mp3: Striptease ( Стриптиз ) — слушать онлайн или скачать mp3. Найдены 15 595 видео-роликов!

  4. GTA 5 Online – Мой Дробовик в Обновлении 1 . 17 . Похожие видео . ? 45:25. Винтовка Вепрь M39: американский Калашников. ? 3:46. Обзор нового дополнения "The Last Team Standing" для GTA online 1 . 17 .

  5. куплинов, скайрим прохождение , scp, игры гта 5 , смешновки, нефёдов, алекса, nether, брейн дит, брайан, state of Вы посмотрели онлайн видео по фразе Брейн ! GTA ONLINE КАК МЫ НАШЛИ ТРУБОПРОВОД ТРЕШ #74 Ч 1. Если онлайн видео Брейн !

  6. Это самые популярные gta san andreas коды, их можете смело использовать, при появлении в паблике новых, список будет обновляться. gta vice city секреты. коды +на gta зима . gta russia 2012.

  7. Описание: GTA San Andreas только для игры по сети интернет,убраны звуки,миссии,установлен SA : MP 0.3c. ilnurzagiev 08.04.2011 Online 1.36 Гб. Скачать GTA SAMP by Elmaldin Да это чистая ГТА ,без каких либо модов,убраны миссии,звуки

  8. Skype – Скайп [8 – . Форум [17 – . Аватарки для майла [34 – . Facebook [25 – . Бесплатно скачать. Главная » Фотоальбом » Картинки на аву, рисунки для аватарки » Игры » GTA 4 .

  9. Вся информация на ресурсе о пиротехнических изделиях, оборудовании для фейерверков , о производителях пиротехники во всем мире и другая информация предоставляется абсолютно бесплатно.

  10. Как выбрать мороженицу : основные критерии ?. Настольная модель требует наполнения солью и льдом либо предварительного охлаждения чаши для мороженого в морозильной камере. Автоматическая мороженица (с компрессором)

  11. 25 комментариев к записи “GTA IV ZOMBIE APOCALYPSE SURVIVAL EP 1 — UNTIL GTA 5 ”. ROCKSTAR should put zombies in GTA 5 . I would buy it in a heartbeat?.

  12. Grand Theft Auto 4 : Подробная карта расположение всех голубей, прыжков, аптечек, бронежилетов и тд. Официальный сайт: www. gta 4 .com Разработчик: Rockstar North Издатель: 2K Games.

  13. Описание. GTA Vice City Cheater – любители быстрой игры на андроид для вас ввод и применение чит кодов. RUBBISHCAR – Мусоровоз. GETTHEREFAST – Sabre Turbo (ооо!)

  14. гта 4 гробовщик , GTA 5 PS 4 ОБЗОР – ШЕДЕВР!!!, ПАСХАЛКИ – 05 – GTA 4 ПАСХАЛКИ, GTA 5 PS 4 СЕКРЕТНОЕ АВТО Сегодня мы поиграем в GTA online, а именно мы вместе с Бандой Енотов будем воплощать ваши Безумные идеи в жизнь!!!! 13 октября 2014

  15. игра гта гта наруто секреты гта 4 степан гт гта са самп майнкрафт выживание скачать гта 4 фрост гта 4 трюки гта россия гта 5 паркур гта моды мифы гта 5 гта самп рп гта 4 обзор приколы в гта прохождение gta 5 .

  16. #86. Смотреть и скачать GTA 5 Online (PS 4 ) – Жгучий форсаж ! #86 бесплатно онлайн. Мне нравится. Поделиться. Скачать Видео . ? Спасибо! Поделитесь с друзьями! URL. ? Вам не понравилось видео .

  17. Свободное падение . Мартин Мадрасо хочет, чтобы Майкл и Тревор оказали ему услугу. Ограбления в GTA Онлайн стали доступны. Подготовка к ограблению в GTA Online.

  18. События пятой по счету GTA ( Grand Theft Auto ) будут разворачиваться в городе Los Santos, это яркий, солнечный и Это означает высокоэффективную загрузку файлов большого размера. Вы можете скачать бесплатно µTorrent с нашего портала.

  19. игры Начало Прохождение. Автор GTA 5 – GTA 5 . Публикации автораGTA 5 – GTA 5 ?. Добавить комментарий Отменить ответ. Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

  20. Содержание Агератум Алиссум Амарант Астра Бальзамин Бархатцы Вербена Годеция Календула Клеома Космея Лобелия Маттиола Настурция Нигелла Петуния Портулак

  21. АДСКИЕ ВОРОТА v 2.0 ! МИФЫ !!! GTA V – Online #133. Летающие машины Gta Online – Адские врата – Часть 123 [Баги – . Играем в многопользовательский режим игры Grand Theft Auto V , где мы пробиваемся

  22. Rockstar ничего не анонсировал, но некий шведский сотрудник росказал гейм-реактору, что уже в эту пятницу минувшую или текущую, начнут принимать предварительные заказы на компьютерную гта 5 . Это значит 4 апреля 2015

  23. Скачать GTA 4 / ГТА 4 "Полиция [ELS – " с сайта. Дополнение для Grand Theft Auto 4 Размер: 667Kb Автор: WPR Категория: Автомобили Заменяет: police.wft.

  24. Карта GTA 4 в бортовом компьютере. В некоторых машинах, а именно у которых есть бортовой компьютер, на их мониторах Майкла, когда Джимми сидит за ноутбуком, на его мониторе можно заметить страницу Нико Беллика в социальной сети Lifeinvader .

  25. Коды на GTA San Andreas (Xbox). Секреты GTA Criminal Russia (Крим Кстати, есть сайт с секретами GTA : San – Andreas : <вырезано цензурой> Ты ещё писал про нападение машины в лесу.

  26. Где лучше графика , на PC или PS 4 ? Китайский игровой портал сравнил графику и пришел к выводу. Новые музыкальные треки и радио в GTA 5 для PC . Новые скриншоты PC -версии Grand Theft Auto 5 .

  27. Играть в гта криминальная россия 2 . Alien shooter 2 волжский для игры. Скачать бесплатно плагин knife model selector чтобы прописывать в чате knife кс 1.6. Сервер подбора игроков max payne 3.

  28. Тревор Филлипс gta 5 (или Тревор Филипс) (англ. Trevor Philips) — один из трёх В гта 5 убить Тревора возможно. Это будет являться одной из концовок игры.

  29. Дата выхода GTA 5. Cистемные требования GTA 5. Официальные новости GTA 5. Сегодня Rockstar добавили приложение для iOS с названием Grand Theft Auto : iFruit для iOS. Wiki . Транспорт.

  30. Онлайн игры . Скачать GTA : San Andreas через торрент программу. Вы можете загрузить русскую версию игры GTA : San Andreas себе на компьютер абсолютно бесплатно.

  31. Great stuff. thanks

  32. Very fruitful information and thanks for sharing.

  33. thans for sharing it

  34. Nice details thanks for sharing such a nice information.

  35. Козерог гороскоп на февраль 2014 Любовный гороскоп на 2014 года Близнецы turupupu.ru 2014 .

  36. Приворот, гадание , все виды магических услуг. Высшая ритуальная Белая магия , предсказания , гадание на картах таро 1 000 руб. Магическая помощь

  37. Онлайн гадания. Книга Судеб Часто значение предсказания зависит от

  38. Гороскоп на 31 Ноября 2012 составлен для: Овен . Гороскоп для Овен : Вчера / Сегодня / Завтра.

  39. могут быть загадки, для взрослых интересные или шуточные вопросы. . Только потренируйтесь дома красиво интерпретировать предсказание . 3. . больше, чем гостей ) вкладывается дождик или конфетти и предсказание на

  40. Lika, не важно имя супруга будущего . Вы это поймете, когда влюбитесь. Каждый человек в нашей судьбе послан не просто так. Для меня

  41. Во времена, когда жил Нострадамус , территорию современной России чаще называли Севером или Востоком, поэтому предсказания Нострадамуса о России не содержат слов Россия или Русь.

  42. Доме, ему приходится уже 20 лет, и пары а они у преодолели кризис, гороскоп на 14 жизнь.

  43. Нумерология , как наука о числах – это одна из самых древних наук, наравне с на котором основано творение Бога. Тайна числа Вашего ребёнка

  44. ПАМЯТЬ ( 99 ) – память, которая быстро воспроизводит нужную информацию. Большие предпосылки для изучения наук. Люди с сильной памятью

  45. Тесты для коучинга Является недопущение перехода Сказки НЛП Скачать реферат эмоцинальные проблемы техниками НЛП

  46. Онлайн гадание на замужество окрыляет и дает силы Гадания онлайн ?

  47. хиромантия знак экстрасенса . как действует приворот на крови новогодние предсказания в стихах таро 20 фильм предсказание скачать барбоскины

  48. -Не совсем правильно. Действительно, есть привороты на новолуние , есть привороты на полнолуние , есть на другие фазы луны, а, например, те же

  49. Нумерология Продолжает тему номеров спецтехники вот такая автовышка с гос.номером .. Реальный номер реального авто .

  50. даты смерти , узнать где вы дату смерти человека ! узнать дату смерти

Leave a Reply