Higher-Order Fun

Game Design & Game Programming

Math for Game Programmers 05 – Vector Cheat Sheet

This is the long due fifth article in this series. If you aren’t comfortable with vectors, you might want to take a look at the first four articles in this series before: Introduction, Vectors 101, Geometrical Representation of Vectors, Operations on Vectors.

This cheat sheet will list several common geometrical problems found in games, and how to solve them with vector math.

Complete list of basic vector operations

But first, a little review.

For this, I assume that you have a vector class readily available. This is mostly 2D-focused, but everything works the same for 3D, except for differences concerning vector product, which I will assume to return just a scalar in the 2D case, representing the “z” axis. Any case that only applies to 2D or 3D will be pointed out.

Strictly speaking, a point is not a vector – but a vector can be used to represent the distance from the origin (0, 0) to the point, and so, it is perfectly reasonable to just use vectors to represent positions as if they were points.

I expect the class to give you access to each of the components, and to the following operations (using C++ style notation, including operator overloading – but it should be easy to translate to any other language of your choice). If a given operation is not available, you can still do it manually, either by extending the class or creating a “VectorUtils” class. The examples below are usually for 2D vectors – but 3D is usually simply a matter of adding the z coordinate following the pattern of x and y.

  • Vector2f operator+(Vector2f vec): Returns the sum of the two vectors. (In a language without operator overloading, this will probably be called add(). Similarly for the next few ones.)
    a + b = Vector2f(a.x + b.x, a.y + b.y);
  • Vector2f operator-(Vector2f vec): Returns the difference between the two vectors.
    a – b = Vector2f(a.x – b.x, a.y – b.y);
  • Vector2f operator*(Vector2f vec): Returns the component-wise multiplication of the vectors.
    a * b = Vector2f(a.x * b.x, a.y * b.y);
  • Vector2f operator/(Vector2f vec): Returns the component-wise division of the vectors.
    a / b = Vector2f(a.x / b.x, a.y / b.y);
  • Vector2f operator*(float scalar): Returns the vector with all components multiplied by the scalar parameter.
    a * s = Vector2f(a.x * s, a.y * s);
    s * a = Vector2f(a.x * s, a.y * s);
  • Vector2f operator/(float scalar): Returns the vector with all components divided by the scalar parameter.
    a / s = Vector2f(a.x / s, a.y / s);
  • float dot(Vector2f vec): Returns the dot product between the two vectors.
    a.dot(b) = a.x * b.x + a.y * b.y;
  • float cross(Vector2f vec): (2D case) Returns the z component of the cross product of the two vectors augmented to 3D.
    a.cross(b) = a.x * b.y – a.y * b.x;
  • Vector3f cross(Vector3f vec): (3D case) Returns the cross product of the two vectors.
    a.cross(b) = Vector3f(a.y * b.z – a.z * b.y, a.z*b.x – a.x*b.z, a.x*b.y – a.y*b.x);
  • float length(): Returns the length of the vector.
    a.length() = sqrt(a.x * a.x + a.y * a.y);
  • float squaredLength(): Returns the square of the length of the vector. Useful when you just want to compare two vectors to see which is longest, as this avoids computing square roots
    a.squaredLength() = a.x * a.x + a.y * a.y;
  • float unit(): Returns a vector pointing on the same direction, but with a length of 1.
    a.unit() = a / a.length();
  • Vector2f turnLeft(): Returns the vector rotated 90 degrees left. Useful for computing normals. (Assumes that y axis points up, otherwise this is turnRight)
    a.turnLeft = Vector2f(-a.y, a.x); 
  • Vector2f turnRight()Returns the vector rotated 90 degrees right. Useful for computing normals. (Assumes that y axis points up, otherwise this is turnLeft)
    a.turnRight = Vector2f(a.y, -a.x);
  • Vector2f rotate(float angle): Rotates the vector by the specified angle. This is an extremely useful operation, though it is rarely found in Vector classes. Equivalent to multiplying by the 2×2 rotation matrix.
    a.rotate(angle) =  Vector2f(a.x * cos(angle) – a.y * sin(angle), a.x * sin(angle) + a.y * cos(angle));
  • float angle(): Returns the angle that the vector points to.
    a.angle() = atan2(a.y, a.x);

Simple cases – warming up

Case #01 – Distance between two points

You probably know that this is done with the Pythagorean theorem, but the vectorial way is simpler. Given two vectors a and b:

float distance = (a-b).length();

Case #02 – Alignment

Sometimes, you want to align an image by its center. Sometimes, by its top-left corner. Or sometimes, by its top-center point. More generally, you can do alignment using a vector whose two components go from 0 to 1 (or even beyond, if you’d like), giving you full control of alignment.

// imgPos, imgSize and align are all Vector2f
Vector2f drawPosition = imgPos + imgSize * align

Case #03 – Parametric Line Equation

Two points define a line, but it can be tricky to do much with this definition. A better way to work with a line is its parametric equation: one point (“P0″) and a direction vector (“dir”).

Vector2f p0 = point1;
Vector2f dir = (point2 - point1).unit();

With this, you can, for example, get a point 10 units away by simply doing:

Vector2f p1 = p0 + dir * 10;

Case #04 – Midpoint and interpolation between points

Say you have vectors p0 and p1. The midpoint between them is simply (p0+p1)/2. More generally, the line segment defined by p0 and p1 can be generated by varying t between 0 and 1 in the following linear interpolation:

Vector2f p = (1-t) * p0 + t * p1;

At t = 0, you get p0; at t = 1, you get p1; at t = 0.5, you get the midpoint, etc.

Case #05 – Finding the normal of a line segment

You already know how to find the direction vector of a line segment (case #03). The normal vector is a 90 degree rotation of that, so just call turnLeft() or turnRight() on it!

Projections using the Dot Product

The dot product has the incredibly useful property of being able to compute the length of a vector’s projection along the axis of another. To do this, you need the vector that you’ll project (“a“) and a unit vector (so make sure that you call unit() on it first!) representing the direction (“dir“). The length is then simply a.dot(dir). For example, if you have a = (3, 4) and dir = (1, 0), then a.dot(dir) = 3, and you can tell that this is correct, because (1, 0) is the direction vector of the x axis. In fact, a.x is always equivalent to a.dot(Vector2f(1, 0)), and a.y is equivalent to a.dot(Vector2f(0, 1)).

Because the dot product between a and b is also defined as |a||b|cos(alpha) (where alpha is the angle between the two), the result will be 0 if the two vectors are perpendicular, positive if the angle between them is less than 90, and negative if greater. This can be used to tell if two vectors point in the same general direction.

If you multiply the result of that dot product by the direction vector itself, you get the vector projected along that axis – let’s call that “at” (t for tangent). If you now do a – at, you get the part of the vector that is perpendicular to the dir vector – let’s call that “an” (n for normal). at + an = a.

Case #06 – Determining direction closest to dir

Say that you have a list of directions represented as unit vectors, and you want to find which of them is the closest to dir. Simply find the largest dot product between dir and a vector in the list. Likewise, the smallest dot product will be the direction farthest away.

Case #07 – Determining if the angle between two vectors is less than alpha

Using the equation above, we know that the angle between two vectors a and b will be less than alpha if the dot product between their unit vectors is less than cosine of alpha.

bool isLessThanAlpha(Vector2f a, Vector2f b, float alpha) {
    return a.unit().dot(b.unit()) < cos(alpha);
}

Case #08 – Determining which side of a half-plane a point is on

Say that you have an arbitrary point in space, p0, and a direction (unit) vector, dir. Imagine that an infinite line goes by p0, perpendicular to dir, dividing the plane in two, the half-plane that dir points to, and the half-plane that it does not point to. How do I tell whether a point p is in the side pointed to by dir? Remember that dot product is positive when the angle between vectors is less than 90 degrees, so just project and check against that:

bool isInsideHalfPlane(Vector2f p, Vector2f p0, Vector dir) {
    return (p - p0).dot(dir) >= 0;
}

Case #09 – Forcing a point to be inside a half-plane

Similar to the case above, but instead of just checking, we’ll grab the projection and, if less than 0, use it to move the object -projection along dir, so it’s on the edge of the half-plane.

Vector2f makeInsideHalfPlane(Vector2f p, Vector2f p0, Vector dir) {
    float proj = (p - p0).dot(dir);
    if (proj >= 0) return p;
    else return p - proj * dir;
}

Case #10 – Checking/forcing a point inside a convex polygon

A convex polygon can be defined to be the intersection of several half-planes, one for each edge of the polygon. Their p0 is either vertex of the edge, and their dir is the edge’s inner-facing normal vector (e.g., if you wind clockwise, that’d be the turnRight() normal). A point is inside the polygon if and only if it’s inside all the half-planes. Likewise, you can force it to be inside the polygon (by moving to the closest edge) by applying the makeInsideHalfPlane algorithm with every half-plane. [ops, this actually only works if all angles are >= 90 degrees]

Case #11 – Reflecting a vector with a given normal

Pong-like game. Ball hits a sloped wall. You know the ball’s velocity vector and the wall’s normal vector (see case #05). How do you reflect it realistically? Simple! Just reflect the ball’s normal velocity, and preserve its tangential velocity.

Vector2f vel = getVel();
Vector2f dir = getWallNormal(); // Make sure this is a unit vector
Vector2f velN = dir * vel.dot(dir); // Normal component
Vector2f velT = vel - velN; // Tangential component
Vector2f reflectedVel = velT - velN;

For more realism, you can multiply velT and velN by constants representing friction and restitution, respectively.

Case #12 – Cancelling movement along an axis

Sometimes, you want to restrict movement in a given axis. The idea is the same as above: decompose in a normal and tangential speed, and just keep tangential speed. This can be useful, for example, if the character is following a rail.

Rotations

Case #13 – Rotating a point around a pivot

If used to represent a point in space, the rotate() method will rotate that point around the origin. That might be interesting, but is limiting. Rotating around an arbitrary pivot vector is simple and much more useful – simply subtract the pivot from it, as if translating so the origin IS the pivot, then rotate, then add the pivot back:

Vector2f rotateAroundPivot(Vector2f p, Vector2f pivot) {
    return (pos - pivot).rotate(angle) + pivot;
}

Case #14 – Determining which direction to turn towards

Say that you have a character that wants to rotate to face an enemy. He knows his direction, and the direction that he should be facing to be looking straight at the enemy. But should he turn left or right? The cross product provides a simple answer: curDir.cross(targetDir) will return positive if you should turn left, and negative if you should turn right (and 0 if you’re either facing it already, or 180 degrees from it).

Other Geometric Cases

Here are a few other useful cases that aren’t that heavily vector-based, but useful:

Case #15 – Isometric world to screen coordinates

Isometric game. You know where the (0, 0) of world is on the screen (let’s call that point origin and represent it with a vector), but how do you know where a given world (x, y) is on the screen? First, you need two vectors determining the coordinate base, a new x and y axes. For a typical isometric game, they can be bx = Vector2f(2, 1) and by = Vector2f(-2, 1) – They don’t necessarily have to be unit vectors. From now, it’s straightforward:

Vector2f p = getWorldPoint();
Vector2f screenPos = bx * p.x + by * p.y + origin;

Yes, it’s that simple.

Case #16 – Isometric screen to world coordinates

Same case, but now you want to know which tile the mouse is over. This is more complicated. Since we know that (x’, y’) = (x * bx.x + y * by.x, x * bx.y + y * by.y) + origin, we can first subtract origin, and then solve the linear equation. Using Cramer’s Rule, except that we’ll be a little clever and use our 2D cross-product (see definition at the beginning of the article) to simplify things:

Vector2f pos = getMousePos() - origin;
float demDet = bx.cross(by);
float xDet = pos.cross(by);
float yDet = bx.cross(pos);
Vector2f worldPos = Vector2f(xDet / demDet, yDet / demDet);

And now you don’t need to do that ugly find-rectangle-then-lookup-on-bitmap trick that I’ve seen done several times before.

247 ResponsesLeave one →

  1. гороскоп совместимости мужчина рак женщина лев – 8 знак по гороскопу гороскоп ежедневный

  2. Если он часто упоминаетее имя во сне или же, оговорившись, называет вас ее .. Влюбленные хотят видеть рядом с собойчеловека, любовь которого столь же .. о пышной икрасивой свадьбе не стоит, даже если вам замуж невтерпеж. .. Помните, что, начав ухаживать за своим мужчиной как за мужем ,

  3. Персональный гороскоп Водолея сможет указать области, в которых данного представителя

  4. как снять порчу самостоятельно бесплатно дома. ГАДАНИЕ ОНЛАЙН

  5. Что заставляло Авеля делать свои предсказания ? Ведь именно он указал точную дату смерти Екатерины II — 6 ноября 1796 года в 9

  6. Поема «Сон » Тараса Шевченка – викривальна поема , де гостро висміяні потворні, антинародні

  7. Нумерология · Число Судьбы · Число Пути · Расчет Числа Рассчитать совместимость . Дата : 3-е июня 2014 года Время: 1:26 (UTC +4) Ритм индивидуального лунного месяца постоянен от рождения человека и до его смерти .

  8. Развить свои способности может любой! В Москве есть даже Школы, которые на этом специализируются. Книг также полно, посмотрите того же Блаво

  9. 3 ричеркара. Фортепианный концерт №4 " Заклинания " – 9 Ноября 2010 – Погружение в классику. Начинающим слушателям · Форум 100 лет BPO / 100 Jahre Berliner Philharmonisches Orchester [ видео –

  10. Активный январь с перемещениями, поездками будет богат на новые связи и

  11. Сексуальная нумерология – внимание на работу и близких, либо будете очень часто менять своих партнеров в поисках новых ощущений в постели. 1 .

  12. Насколько правдивы виртуальные гадания, нумерология или гороскопна сегодня, Гороскоп

  13. Гадание по пламени своими корнями уходит далекое прошлое , когда Но если карта говорит о «своем», то это указывает на ошибку в раскладе.

  14. гадание по руке количество браков – > · гадание по руке левша – > · гадание по руке научиться – > · гадание по руке научиться – > · гадание

  15. Чтобы узнать, что хотят сказать вам гадания старинный пасьянс онлайн

  16. гадание на встречу камни по зодиаку наина владимирова гадания сколько знаков

  17. ХИРОМАНТИЯ — (от греч. cheir рука и manteia гадание ) гадание по линиям и бугоркам ладони

  18. Число 16 считается особым, мистическим числом. Оно может принести

  19. Гороскоп совместимость знаков лев и рак гороскопи совместимости мужчина близнецы

  20. мужчина Гороскоп 2014 года Гороскоп Стрелец на 2014 год, Здоровье. У

  21. Видеть Апельсин во сне . / (Любовный сонник). Если вам приснилось, что вы едите апельсин , значит вам не избежать разлуки и даже разрыва

  22. http://helpextra.ru/praktika Ритуалы в полнолуние – это самые благоприятные дни для открытия

  23. Как рассчитать дату смерти нумерология . Вернуться к началу. Профиль. 05.06.2013, 12:43. elena-ruko. Администратор. Аватара

  24. Вот одно из Последних Предсказаний Ванги : Россия .. Будущее России Ванге представлялось следующим: "Все будет таять, с предсказаниями Нострадамуса , и других пророков и провидцев явиться в Россию.

  25. Интернет-газета " Джентри " Выпуски 2014 года · Выпуски 2013 года ·

  26. Гадаю на Таро бесплатно .. 1111 для этого расклада дата рождения не обязательна, имя желательно. (1) · Сон – поймала свадебный букет (7) · Как ужиться со Львом? (46) · Гадание на игральных картах (16)

  27. У рыцарей смерти даже есть свой собственный Конь смерти Акеруса! .. облегчить жизнь хилам, а при танке находящимся при смерти, благодаря

  28. А вот Александр Шепс был не рад необходимости делать такой прогноз. Он считает, что, задавая вопросы о будущем, человек должен

  29. Eсли Вaм понравилось онлайн гадание на парня , обязательно испытайте на себe другиe гадания, представленныe на нашeм сайте:

  30. Тест на совместимость по дате рождения. Этого не скрою.донечка.Я столько нежности хочу тебе еще тест, дыханье,ты не сможешьМне в этой прихоти

  31. гадания на парня онлайн бесплатно | гадание на замужество онлайн . Могла его видеть и

  32. Приворот в кемерово, приворот любимого, приворот на любовь , заговоры, гадания

  33. Владислав Грам. Коуч. НЛП -Практик. О курсе «Коучинг: курс чудес для . P.S. Восемь месяцев назад я вряд ли наисал бы отзыв в такой форме :)) и для

  34. Гороскопы – мы знаем все о Гороскопы. Авторские гороскопы астролога Романа Нечаева: гороскоп на год, . Любимые гороскопы – в новом окне

  35. Бесплатно скачать игру Ядерный шар 2 на компьютер без шар желаний скачать на – Шар желаний

  36. так как мимика и жесты чаще всего непроизвольны а потому правдивы Таким о. Название: Хиромантия . Расшифровка кода человека по его руке

  37. Фишкина Картинка. Тема: Предсказания Ванги (2 фото) Для возможности комментировать новости

  38. Игумен n Об одном древнем страхе Кого и как «портят» колдуны По благословению Святейшего

  39. Резервы здоровья достаточны. Успех будет там, где на следующую неделю. Зодиакальный гороскоп на следующую неделю с 2 по 8 июня 2014 года.

  40. Это лишь некоторые предсказания , которые сделала в интервью " Голосу России начало новой эпохи, уже произошли в 2013 году .

  41. он обновляется ежесуточно как минимум. Тема, Раздел, Автор, Дата . BSOD (Синий экран смерти ) после запуска Dr.Web CureIt BSOD После проверки утилитой от ДрВеба выпадает BSOD, винда не грузится.

  42. Об этом на своей странице в социальной сети «Facebook» сообщает .. АЛЕКСАНДР ШЕПС : КАК С ПОМОЩЬЮ СВЕЧЕЙ ПРИМАНИТЬ

  43. Любовный гороскоп скорпион и близнецы гороскоп на 2010 год стрелец коза хорошие гороскопы

  44. Приворот любимого на любимого на возврат по фотографии самостоятельно под свой порог

  45. Gadanie_pasyans_onlain. старинный пасьянс онлайн гадание . none Игральные карты в старинном русском

  46. Совместимость близнецы стрелец по гороскопу бесплатно. В паре близнецы мужчина, стрелец женщина это проявляется особенно наглядно.

  47. Третий глаз, откройся! Женщины не дадут соврать: интуиция редко подводит, правда, если мы

  48. Найдено 1 сообщений. Cообщения с меткой. скачать сонник вещи забыть – Самое интересное в блогах. Следующие 10 » · Следующие 10 ». <скачать

  49. Of the Vishu festival, held in celebration of the New Year in Malabar, the .. They drive in the first post, which must have a certain length, say of [ 34 – five, seven, It is recorded by Frazer12 that, when a Hindu child’s horoscope portends

  50. От нуля ведут счет все прочие числа , поэтому в нумерологии 0 Однако, в учениях Каббалы и верованиях индейцев майя 13 , наоборот, счастливое

Leave a Reply

*